Жүйелер теориясының әдістері экономикада, физикада, инженерлік қызметте, т.б. практикалық істерде пайда болатын есептерді шешуге бейімделген курс.  Тиімді шешімді табуға арналған есептер оптимизациялық  есептер  деп  аталады. Оптимал нәтиже бірден табылмайды, ол оптимизациялау процессі деп аталатын процестің нәтижесінен шығады. Оптимизациялық есептер деп аталады. Оптимал нәтиже бірден табылмайды, ол оптимизациялау процесі деп аталатын процестің  нәтижесінен шығады.  Оптимизациялау процесінде пайдаланатын әдістер оптимизациялау әдістері деген атқа ие болды.

Қарапайым жағдайларда біз бірден есептің шарттарын математика тілінде аударамыз да, оның матиматикалық тұжырымын аламыз. Бірақ та, іс жүзінде есепті формализациялау процесінің қиындықтары көп. Мысалы, цехта өңделген бұйымдарды, бұйымның әр түрін шығару жоспарының ең аз шығынымен орындалуы қамтамасыз етілетіндей әртүрлі типтегі құрал-жабдықтарға тиімді болу керек.

Есептің шығарылу процесі келесі этаптармен беріледі:

1. Объектіні зерттеу. Бұл этапта, болып жатқан процестерді түсіну, қажетті параметрлерді (мысалы, әртүрлі және өзара алмастырылатын типтегі құралдар саны, оның әрбір бұйым түрін өңдеудегі өнімділігі, т.б. ) анықтау талап етіледі.
2. Модельге сипаттама процесс сипаттамаларының арасындағы негізгі байланыстар мен тәелділіктерінің критерийі тұрғысынан қарағандағы мәтінін жазу.
3. Математикалық модельдеу – модельді мәтіндік сипаттамасын математикалық тілге аудару. Барлық шарттар сәйкес шектеулер жүйесі түрінде жазылады ( теңдеу, теңсіздік ). Бұл жүйенің кез келген шешімі үйлесімді шешім деп аталады. Критерии функция түрінде жазылады, оны әдетте мақсат функциясы деп атайды. Тиімдеу есебін шешу, әдетте, шектеулер жүйесінің шешімдер жағынан мақсат функциясына ең үлкен немесе ең кіші мәнін іздеу болып табылады.
4. Есепті шешу әдісін таңдау. Есеп математикалық формада жазылғандықтан, оның нақты мазмұны бізді қызықтырмайды. Әртүрлі есептің  формальді тұжырымдарының бірдей болуы мүмкін. Сондықтан, шешу әдісін таңдаған кезде есептің мазмұнына емес, алынған математикалық құрымына назар аударамыз.Кейбір есептердің  ерекшеліктеріне байланысты белгілі  әдістерді модификациялау немесе жаңа әдіс ойлап табу қажет  болуы мүмкін.
5. Есепті ЭЕМ – да шешу үшін программа жазу немесе таңдау. Іс жүзінде айнымалылар санының және олардың арасындағы байланысты есептер тек ЭЕМ көмегімен шығарылады.
6. Есепті ЭЕМ – де шешу.
7. Алынған нәтижені сараптау. Алынған шешімді сараптаудың екі түрі болуы мүмкін: формальді (математикалық), яғни құрылған математикалық модельдің шешімінің дұрыстығы (дұрыс болмаған жағдайда программа, берілген мәліметтер, т.б.) яғни алынған шешімнің модельденген объектіге  сәйкес болуы.

Осындай сараптаудың нәтижесінде модельге өзгертулер немесе түсініктемелер енгізілуі мүмкін, содан соң өңдеу процесі толық қайталанылады. Егер, таңдалған критерий бойынша модель объектінің қызметін жеткілікті дәлдікпен сипаттайтын болса, онда модель құрылған және аяқталған  болып саналады. Тек  осыдан соң ғана модельді есептеулер үшін пайдалануға болады. Математикалық  программалау дегеніміз – экстремальды  есептерді зерттейтін және олардың шешу  әдістерін құрумен айналысатын математикалық пән. Жалпы түрде экстремальді есептердің  математикалық  қойылуы q_i(x₁…,x_n)≤b_i  (i=1,m)  шектеулеріне  f=(x₁…,x_n)  мақсатты функциясының ең үлкен немесе ең кіші мәндерін анықтаудан тұрады, бұл жерде f және q_i берілген функциялар, ал  b_i  - кейбір нақты сандар  q_i және f функцияларының қасиеттеріне байланысты пограммалау, есептердің белгілі бір класстарының шешу әдістерін зертеу және құрумен айналысатын жеке пәндер болы қарастырылуы мүмкін. Ең алдымен математикалық программалау есептері сызықты және сызықты емес болып бөлінеді. Сонымен қатар, егер f  және q_i  сызықты болса, сәйкес есепте сызықты программалау есебі болып табылаы. Егер,  көрсетілген функциялардың біреуі сызықты емес болса, онда сәйкес есепте сызықты емес программалау есебі  болып табылады. Математикалық  программалаудың ең көп зерттегені  сызықты программалау  болып табылады. Сызықты программалау  есептерін шешу үшін бірқатар ұтымды әдістер, алгоритмдер және программалар жасалған. Сызықты емес программалау есептерінің ішінде ең  терең зерттелгені дөңес бағдарламалау есептері. Бұл есептердің шешілу нәтижесінде дөңес  тұйық жиында  берілген функцияның ең кіші дөңесті   (немесе  ең үлкен ойыстығы)  анықталады. Бүтін санды программалау , параметрлері және бөлшек сызықты программалау  есептері программалаудың жеке бір кластары болып табылады. Бүтін санды программалау есептерінеде белгісіздер тек бүтін мәндер ғана қабылдай алады.

II.СЫЗЫҚТЫ ПРОГРАММАЛАУ (СП) ЕСЕПТЕРДІҢ ШЕШУДІҢ ГРАФИКАЛЫҚ ӘДІСІ.

Графикалық  әдіс n=2 немесе n=3 болғандағы СП есептеріне және сонымен қатар n-m=2 қатынасымен байланысқан n белгісіз, m сызықты тәуелсіз теңдеулерден тұратын шектеулер жүйесі бар СП есептеріне қолданылады. СП есебінің екі өлшемді кеңістіктегі есебі ең көрнекті болып табылады. Осы жағдай үшін есеп құрастырайық:

                     L(x)=c₁x₁+c₂x₂                                                       (1)

 мақсат функциясының экстремумын келесі шектеулерде табу керек:

                                                                     (2)

                         x_1m ≥ 0,  x_2m ≥0                                                                  (3)

III ГРАФИКАЛЫҚ ӘДІСТІҢ АЛГОРИТМІ   

Барлық нүктелері алғашқы шектеулер жүйесін (3)-(2) қанағаттандыратын үлесімді шешімдер көпбұрышын (шектелмеген аймақ      болуда мүмкін) тұрғызамыз. Бұл үшін (3) және (2) теңсіздіктер жүйесі үшін    сәйкес шекаралық түзулердің теңдеулерін жазамыз және оларды х₁0х₂    жазықтығына жүргіземіз. Әрбір шекаралық түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. Шешімнің жарты жазықтығын анықтау үшін жазықтықтың кез келген нүктесінің кординатын сәйкес теңдікке қою керек. Егер бұл нүкте теңсіздікті қанағаттандырса, онда шешімнің жарты жазықтығы деп жазықтықтың нүктеде  жатқан бөлігін  алу керек.

Шешімнің жарты жазықтығын бағдаршалармен белгілейміз.Осы жолмен барлық теңсіздіктердің шешімдер аймағы құрылады және олардың ортақ бөлімі анықталады.

1. (1)параллель түзулер тобына жататын L₀ – бастапқы түзуін және (1) сызықтық форманың өсу бағытын көрсететін градиент (с₁с₂) жүргіземіз.
2. Бастапқы түзу L₀ – ді тірек жағдайға келгенше, яғни шешімдер көпбұрышы оның бір жағында жататындай және онымен ең аз дегенде бір ортақ нүктесі болатындай күйге келгенше өзіне – өзін параллель жылжытамыз. Сонда L₀ бастапқы түзуінің (с₁с₂) бағытында қабылдайтын бірінші тірек күйі L_min, ал L_max .
3. Экстремум нүктелерінің координаттарын анықтаймыз, ол үшін қиылысу нәтижесінде осы нүктелер пайда болған шекаралық түзулердің теңдеуін бірге шешеміз және осы нүктелердегі мақсат функциясының мәнін есептейміз.

Ескерту: Тірек түзуі шешімдер көпбұрышының бір қырымен қабаттасып келген жағдайда мақсат функциясы бір мезгілде екі бұрыштық Х₁⁰  және Х₂⁰  нүктелерде экстрималдық  мән қабылдайды. Бұл жағдайда  тиімді жоспарлар жиыны туралы теорема негізінде (1) сызықты форма Х₁⁰  және Х₂⁰  нүктелерінің дөңес комбинациялары болатын барлық нүктелерде, яғни

                                                 (4)

нүктелерінде  бірдей экстремальды мәндер қабылдайды.

          Бақылау мысалын шешу

                 L(x)=3x₁ + 2x₂ → экстр.                                               (5)

Мақсат  функциясының  максимумы мен минимумы келесі шектеулерде  табу керек:

                                          X₁  0;  X₂ ≥0;                                (7)

Шешімдер  көпбұрышын құрып шекаралық түзулердің теңдеулерін жазамыз. (бұл түзулердің теңдеуін құру ыңғайлы болу үшін, мүмкін болған жағдайда кесінді теңдеулер түрінде береміз, яғни х₁/а+х₂/b=1) :

 +       (I)

       (II)

        (III)                                                          (8)

+=0;           (IV)

x₁=0; x₂=0;                                                                          (9)

Ox₁ осінде 6-ға, Ох₂ осінде (-3) – ке тең кесінді қиып түсіретін (I) шекаралық түзуді жүргізіп, шешімдер жарты жазықтығын анықтаймыз. Ол үшін О(0,0) нүктесінің координаттарының сәйкес (I) теңсіздігіне қоямыз. Бұл теңсіздік дұрыс, сондықтан О(0,0) нүктесі жатқан жарты жазықтықты бағдаршалармен белгілейміз. Осы жолмен қалған теңсіздіктер үшін де шешімдер жарты жазықтықтары анықталады. Нәтижесінде АВСД шешімдер көпбұрышы алынады.

1. L₀ бастапқы түзуін жүргіземіз, яғни 3х₁+3х₂=0. Бұл координат осінің басынан өтетін түзудің теңдеуі. Мақсат функциясының градиентін құру үшін оның дербес туындыларын есептейміз. Бұдан мақсат функциясының ең жылдам өсу бағыты (3.2)                                             векторымен анықталады.
2. Бастапқы түзуді градиенттің бағытында бір-біріне параллель жылжытамыз L(X) тобының тірек түзулері А және С төбелері арқылы өтеді: С нүктесінде мақсат функциясы өзінің максимумын, ал А нүктесі минимумын қабылдайды.
3. Экстремальдық нүктелердің координаталарын анқтаймыз. А төбесінің координаталарын табу үшін III және IV шекаралық түзулерінің теңдеулерінен құрылған жүйені шешу керек.

                                                 (10)

Бұдан шығатыны,  А нүктесі координаттары (2,4), ал бұл нүктедегі мақсат функциясының мәні:

             L_min=3

Осыған ұқсас С(12,3) нүктелерінің координаталары анықталады.

             L_max=3 Сонымен есептің жауабы: А(2,4) нүктесінде мақсат функциясы минимум L_min=14, C(12,3) нүктесінде масимум (L_max=42) қабылдайды.           

   №19  нұсқа

1. ɑ (х) = -5x₁ + х₂

Мақсат  функциясының максимумы  мен  минимуммын келесі  шектеулерде  табу керек.

Графиктік тәсілмен

2. Үш базаға 200; 270; 130 бірлікте жүк түсті. Осы жүкті 120; 80; 240; 160  бірлікті тұтынушы төрт дүкенге  жеткізу керек. Ал құны тарифте матрица арқылы  арқылы  берілген.

Жеткізудің  оптималды жоспарын және жіберілген шығынын есепеу керек.

 Есептің  шығару  жолы:

• Графиктік тәсілмен:

        ɑ(х)=-5x₁+x₂

    ɑ(x) = -5x₁+x₂

max (A) = -5 ∙ (-0.5) + 4=1,5                   min (C) = -5∙2,5 + 3,5= -9

2+1,5x=3,5-x                                           2+1,5x=1+x                                     2-3,5=x-1,5x                                            2-1= x+1,5x                                 -1,5 = -0,5x                                                1 = 2,5x                                       x₁ = -0,5                                                      x₁ = 2,5                                      x₂ = 4                                                           x₂ = 3,5                                          max (A) =1,5                                             min (C) = -9.

200; 270; 130.                                                                                               120; 80;  240; 160.

Жіберу орны	Белгілеу  орны
	В1	В2	В3	В4	қоры
А1	2	4	7	9	200
А2	5	1	8	12	270
А3	11	6	4	3	130
Тұтынушы	120	80	240	160	600

• Солтүстік – батыс бұрыш арқылы есепті шешу әдісі.

Жіберу орны	Белгілеу  орны
	В1	В2	В3	В4	қоры
А1	2 120	4 80	7	9	200
А2	5	1	8 240	12 30	270
А3	11	6	4	3 130	130
Тұтынушы	120	80	240	160	600

S(x) =2*120+4*80+8*240+12*30+3*130=3230   ақша бірлігі.

• Минимал әдісі.

Жіберу орны	Белгілеу орны.
	В1	В2	В3	В4	қоры
А1	2 100	4 30	7 40	9 30	200
А2	5 20	1 50	8 200	12	270
А3	11	6	4	3 13 0	130
Тұтынушы	120	80	240	160	600

C₂ = 2*100 + 4*30 + 7*40 + 9*30 + 5*20 +

                     +50+8*200+3*130=3010   ақша   бірлігі.

1. СЫЗЫҚТЫ ПРОГРАММАЛАУДЫҢ (СП) ТРАНСПОРТ   ЕСЕБІН ПОТЕНЦИАЛДАР ӘДІСІМЕН ШЕШУ.

           СП транспорт есебі келесі түрде құрылады.                                          Мақсат функциясы

Және төменгі шарттар берілген.

Мұндағы: С_ij  - i- ші өндірушіден j – ші тұтынушыға жүк бірлігін жеткізу құны.                                                                                                                                       а_i – і-ші өндіруші ресурстары;                                                                                          b_j- j – тұтынушының қажеттілігі;                                                                           (11) – (12) шарттары орындалып, кез келген і- ні өндірушіден (і= кез келген  j – ші тұтынушыға (j=мақсат функциясы экстремум қабылданбайтындай бір текті жүкті тасымалдаудың жоспарын құру қажет.

1 – кесте

Тұтынушылар	В1	В2	...	Вn	Ресурстар
Жіберушілер
А	C21   X11	C12                      X12	…	C1n                     X1n
	C21   X21	C22   X22	…	C2n   X2n
...	…	…	…	…	…
Аm	Cm1                      Xm1	Cm12   Xm12	…	Cmn   Xmn
Қажеттіліктер	B1	B2	…	Bn

Потенциал әдісінің алгоритмі

1.Транспорт есебінің  шешілу шартын тексереміз,

Егер бұл шарт орындалмаса, онда екі жағдай болуы мүмкін:

қажеттіліктері  В_ф=В_n+1 болатын жасанды тұтынушы енгіземіз.

ресурстары   А_ф=А_М+1  болатын жасанды жіберуші енгіземіз.

Тарату кестесінде бірінші жағдайда қосымша баған енгізіледі, ал екіншісінде қосымша жол енгізіледі. Жасанды тұтынушылар немесе жіберушілер құны әдетте нөлге тең деп алынады.

2. Бастапқы тірек жоспарын құрамыз. Оны оқытудың бірқатар әдістері   бар:  «солтүстік батыс бұрыш»  әдісі  «матрицаның  ең  жақсы элементі»  әдісі, «қатардың ең жақсы элементі» әдісі, «апроксимация» , т.б.

Матрицаның  ең  жақсы  элементі  әдісін қарастырайық:                                               а)барлық бағалар арасында бұл матрицаның  ең жақсы элементін таңдаймыз    (егер есеп минимумға қойылса, ең кішісі, егер есеп максимумға қойылса, ең үлкені)

ә) ең жақсы элементі бар тарату кестелерінің торына жол және баған бойынша шектеулерді ескере отырып,  ең үлкен мүмкін тасымалдау шамасын жазамыз. Нәтижесінде жол немесе баған бойынша шектелу бітпейді, бұдан әрі шектеу біткен бағыттағы сәйкес қатар одан әрі есеп шешімінде қарастырылмайды (яғни сызылып тастайды);                                                        б) қадамына көшеміз. Процесті барлық ресурстар тартылып, барлық қажеттілік қанағаттандырылғанша жалғастырамыз.                                             1 – ші Ескерту:  Өнімдерді таратқанда бір уақыт жолда, бағанда сызылып тасталса, онда жоспар нұқсанды болады.                                                                 Сондықтан бір уақытта сызылып тасталатын жол және бағанды ең жақсы С_ij бар  бос  торлардың біріне ( жасандыға жатпайтын) жіберілетін өнімнің шамасн нөл деп қоямыз, яғни бос емес торлар санын (m+n-1) санына жеткіземіз.

3. Жоспардың нұқсанды еместігін тексереміз: толтырылған ұяшықтар   саны m+n-1 – ге тең болуы керек. Егер жоспар нұқсанды болса, нұқсандылықты жоямыз.
4. L(x) сызықтық формасының мәнін есептейміз:
5. Жоспардың тиімділік шартын тексереміз:                                                                      а)     барлық  бос ұяшықтар  үшін (яғни Х_ij>0) (m+n) белгісіздері бар  U_i(i=1,m)  және  V_j(j=1 , n) теңдеулер жүйесін құрамыз.

-U+V_i=C_ij .                                                                                       (20)

Бұл жүйе анықталмаған жүйе болғандықтан айналымдардың біріне кездейсоқ мән беруге болады. Есептеуге оңай болу үшін  U_i=0 деп аламыз. Алынған U_i  және V_i қосымша бағамен жолға енгіземіз.                                                                  ә) барлық бос ұяшықтар үшін (яғни   X_ij=0) келесі формула бойынша бағалау жүргіземіз.

Есепті минимумға шешкенде барлық  ∆_ij ≤0 болса есепті масимумға шешкенде барлық ∆_ij ≥0 болса, онда алынған жоспар тиімді болып табылады.

Х=(Х_ij) тасымалдау жоспарын және L(X) мәнін жазып аламыз. Есепті минимумға шешкенде ең болмаса бір ∆_ij≥0 бағасы бар болса ( есепті минимумға шешкенде ∆_ij≤ 0 ), онда жоспар тиімді емес. Келесі қадамға көшеміз .

6. Барлық оң бағалар ( есеп минимумға ) ішінде ең үлкенін таңдаймыз. Есепті масимумға шешкенде барлық  ∆_ij  теріс бағалар ішіне абсолюттік мәні    бойынша ең үлкенін таңдаймыз. Таңдалған бағаны ∆_i0j0  деп белгілейміз.
7. Таңдалған ∆_i0j0 бағасы бар ұяшық үшін тікбұрышты контур құрамыз, ол тікбұрыш  жасап қиылысатын горизонталь және вертикаль кесінділерден тұрады. Контурдың бір төбесі (_i0j0) нөмрлі  бос ұяшықта, ал қалғандарының  барлығы толтырылған  ұяшықтарда  болуы керек.
8. (_i0j0) – ден бастап контур төбелеріне «плюс» және «минус» таңбаларын меншіктейміз.
9. Контур төбелеріндегі «минус» таңбалы мәндер ішінен кішісін таңдап, оны Θ деп белгілейміз.
10. Θ мәнін контур бойынша жылжыта отырып , оны «минус» таңбалы төбелердегі мәндерден аламыз да «плюс» таңбалы төбелердегі мәндердерге қосамыз. Жаңа тірек жоспары алынады. 3-ші қадамға қайта ораламыз.

2- ескерту:    Егер «минус» таңбалы контур төбелерінде бір немесе бірнеше бірдей ең кіші Θ мәні болса, онда мәтіндерді контур бойынша қайта бөлгенде (жоспардың нұқсаны болу жағдайларын болдырмау үшін ) төбелердің біріне ( немесе бірнешеуіне ) нөлдік жеткізулер қою керек  (ең жақсы С_ij бар ұяшыққа сәйкес келетін, бірақ жалған ұяшықтарға жатпайтын төбелерге артықшылық бірлеседі) .

3- ескерту:  Бастапқы тірек жоспар үшін сызықты форма мәнін,

Формуласын есептеп, L(x) – тің келесі мәндерін төменде берілген формуласымен есептеуге болады.

L(X₂) = L(X₁) ?∆L                                                                                         (23)

Мұнда есеп максимумға шешілсе, «плюс», ал минимумға болса, «минус» .

∆L = ∆i₀j₀  ∙ Θ

4 – ескерту: Егер алынған тиімді жоспардың нөлдік бағалары бар болса,  онда есептің тиімді жоспарлар жиыны бар болғанда. Нөлдік бағасы бар ұяшық үшін контур құру керек және өнімді қайта бөлу керек. Жаңадан алынған  жоспар тағы да тиімді болады. Олай болса СП теоремасы брйынша кез келген

 Х=ɑX₁ +(1+ɑ) X₂ (0≤ ɑ≤1 )  жоспар тиімді болады.

1.   БАҚЫЛАУ   ЖҰМЫСЫН   ШЕШУ.

 а₁=4; a₂=8; a₃=8;                                                                                                                        b₁=7; b₂=3; b₃=6; b₄=6;

Берілгендермен жалпы құны ең аз болатындай тасымал жоспарын құру керек.

1. Шешімді болу шартын тексереміз;

Ресурстары   а_ф=22-20=2  болатын  а_ф жалған жеткізушіні енгіземіз.

2. Матрицаны ең жақсы элементі әдіс бойынша бастапқы тірек жоспарын құрамыз (1-кесте). Ең алдымен  құн С₄₁ = 0, (4,1) ұяшығына Х₄₁=(2,7)=2 өнімін жібереміз. А_ф барлық ресурстары таусылды, сондықтан бұл жолды сызып тастаймыз. Қалған құндар ішінде ең  кішсі С ₁₄=1, олай болса Х ₁₄=min (8,4)=4  т.с.с. Процесс ресурстар толықтай таратылып біткенше жалғасады. Келесі  жоспарды аламыз

3. Алынған жоспар нұқсаны емес, себебі m+n-1=7 және кестедегі толтырлған  ұяшықтар саны  7-ге  тең.
4. L(X)=1*4+3*2+2*6+4*5+3*1+3+8*2=57.
5. Жоспардың тиімді болу шартын тексереміз. Толтырылған ұяшықтар үшін жүйе құрамыз.

U_i+V_j=C_ij

(1,4): -U₁+V₄=1

(2,2): -U + V₂=3

(2, 3): -U₂+V₃=3

(3, 1): -U₃+V₁=4

(3, 2): -U₃+V₂=3

(3, 4): -U₃+V₄=4

U₁=0   деп аламыз. Барлық мәндерін табамыз:

U₁=0; U₂=-5; U₃=-5; U₄=-4;                                                                                             V₁=-1; V₂= -2; V₃=3; V₄=1.

Кестеде U_i бағанын және V_j  жолын толтырамыз. Бос ұяшықтардың бағаларын табамыз.

∆₁₁= U₁+V₁ – C₁₁=0-1-5=-6<0                                                                                                ∆₁₂= U₁+V₂ – C₁₂=0-2-4=-6<0                                                                                          ∆₁₃= U₁ + V₃ – C₁₃=0-3-2=-5<0                                                                                            ∆₂₁= U₂ + V₁ – C₂₁=5-1-4=0                                                                                              ∆₂₄=U₂ + V₄ – C₂₄ = 5+1-4=3>0                                             (23)                                    ∆₃₃=U₃+V₃ – C₃₃ = 5-1-1=1<0                                                                                          ∆₄₂ = U₄+V₂-C₄₂=1-2-0=-1<0                                                                                           ∆₄₃=U₄+V₃ - C₄₃ = 1-3-0=-2<0                                                                                                ∆₄₄= -U₄ + V₄ – C₄₄ = 1+1-0=2>0

12. Х₁ жоспары тиімді емес, себебі бос ұяшықтардың оң бағалары бар. Олардың ішінде ең үлкені ∆₂₄=3 таңдап аламыз.
13. (2,4) нөмірлі ұяшық үшін контур құрамыз. Контур төбелері: (2,4), (3,4), (3,2), (2,2).
14. (2,4) – тен бастап төбелерге таңбалар қоямыз.
15. (2,2) және (3,4) ұяшықтарында тұрған жеткізулер ішінен ең кішісін таңдаймыз: Θ =min {2,2}=2.
16. Θ=2 – ні контур бойынша жылжыта отырып оны (2,4) және (3,2) ұяшықтарындағы өнімдерге қоямыз, (2,2) және (3,4) ұяшықтарындағы өнімдердерден аламыз. Жаңа жеткізулер аламыз: (3,2) ұяшығында -3, (2,4) ұяшығында – 2 , ал (2,2) және (3,4) ұяшықтары босаыды. Нұқсандылық жағдайына келеміз (2-ескерту). (2,2) нөмірлі қяшыққа себебі (С₂₂>С₃₄) нөл-жеткізу қоямыз. Жаңа тірек жоспарын 2 – кестеге жазамыз да, 3 – қадамға көшеміз.
17. Жаңа жоспар:
18. L(X₂) = L(X₁) - ∆i₀j₀ * Θ = 57-3*2=51
19. Жоспардың нұқсанды тиімді емес тиімділігін тексереміз.                              Толтырылған ұяшықтар үшін:

(1, 4): -U₁ + V₄=1

(2, 4): -U₂ + V₄=3

(2, 3): -U₂ +V₃=2

(2, 2): -U₂+ V₂=3                                                                            (25)

(3, 2): -U₃+ V₂=3

(3, 1): -U₃ +V₃=4

(1, 4): -U₄+V₁=0

 Бұдан шығатыны:

U₁=0; U₂=-5; U₃=-2;  U₄=-2;

V₁=-2; V₂=3; V₃=0;   V₄= 1.

Бос   ұяшықтар  үшін :

∆₁₁=2-0-5=-3< 0

∆₁₂=1-0-4=-3<0

∆₁₃=-2<0

∆₂₄=2=2-4=0                                                                            (26)

∆₃₃=0+2-3=-3-1<0

∆₃₄=1+2-6-3<0

∆₄₂=1-2-0=-1<0

∆₄₃=-2<0

∆₄₄=-1-2=-1<0

Яғни Х₂  жоспары тиімді. Оны ( қосымша жол бойынша жеткізулер енгіземіз) және сызықты форма мәнін жазып аламыз.

L(X₂) = 51                                                                                                    (28) ∆₂₁=0 болғандықтан, есептің тиімді жоспарлар жиыны бар. (2,1) ұяшығы үшін контур құруға және жеткізулерді қайта бөлуді жүргізуге болады. Х₃ – ті аламыз, ол да тиімді болып табылады. L(X₃) = 51 олай болса, СП – ның негізгі теоремасы бойынша кез келген X = ɑX₂+(1-ɑ) X₃………(0≤ ɑ ≤1)( ) жоспары  да  тиімді болады.                                                                                             1 – кесте.

Bj Ai		B1	B2		B3	B4		Ресурстар
	Vj Ui	V1=-1	V2=-2		V3=-3	V4=1
A1	U1=0	5     X	4     Х		2     Х	1     Х		4
A2	U2=-5	4       X	-2       3		2       6	+X       3		8
A3	U3=-5	4   5	+1   3		3   X	-2   6		8
A4	U4=-1	0       2	0       Х		0       Х	0       Х		2
Қажеттіліктер		7		3	6		6	22   22

2 – кесте

Bj Ai		B1	B2	B3	B4	Ресурстар
	Vj Ui	V1=2	V2=1	V3=0	V4=1
A1	U1=0	5   X	4   X	2   X	1   4	4
A2	U2=-5	4   X	3   0	2   6	3   2	8
A3	U3=-5	4     5	3     3	3     X	6     X	8
A4	U4=-1	0     2	0     X	0     X	0     X	2
Қажеттіліктер		7	3	6	6	22       22

Курстық жұмысқа  қосымша   есеп                 1 – нұсқау

160; 140; 180;

80;  120;  100;  180;

Жіберу орны	Белгілеу   орны
	В1	В2	В3	В4	Қоры
А1	7   80	6   80	4	1	160
А2	5	4   40	2   100	1	140
А3	3	2	4	6   180	180
Тұтынушы	80	120	100	180	480

S₁= 7*80 + 6*80 + 4*40 + 2*100 + 6*180  =  2480

Жіберу орны	Белгілеу   орны
	В1	В2	В3	В4	Қоры
А1	7	6	4	1     160	160
А2	5     20	4	2     100	1     20	140
А3	3     60	2     120	4	6	180
Тұтынушы	80	120	100	180	480

S₁ = 1*160 + 5*20 + 2*100 + 1*20 + 3*60 + 2*120 = 900

VI ҚОРЫТЫНДЫ

Математикалық  модельдеудің  есептерін  шығару  үшін  есептің  шығарйлу  процесі  келесі  этаптармен  шештік:

1. Объектіні зерттеу.
2. Модельге сипаттама  беру
3. Математикалық модельдеу – модельді мәтіндік сипаттаммасын   математикалық  тілге  аудару
4. Есепті шешу  әдісін  таңдау
5. Есепті ЭЕМ – да шешу үшін программа жазу  немесе  таңдау
6. Есепті ЭЕМ – де шешу
7. Алынған нәтижені  сараптау.

Сызықты  программалау  есептерін шешу үшін  бір қатар  ұтымды  әдістер,  алгоритмдер  және  программалар жасадық. Сызықты  емес программалау  есептерінің ішінде ең терең зерттелгені дөңес бағдарламалау есептері. Бұл есептердің шешілу нәтижесінде дөңес тұйық  жиында берілген  функцияның  ең кіші дөңесті  (немесе ең үлкен ойыстығын) анықтадық.

Графикалық әдіс  n=2 немесе  n=3 болғандағы СП есептеріне және сонымен қатар n-m=2 қатынасымен  байланысқан  n белгісіз, m сызықты  тәуелсіз  теңдеулерден  тұратын шектеулер жүйесі бар СП есептріне  қолданылады. СП есебінің екі өлшемді  кеңістіктегі есебі ең көрнекті болып табылады. Сызықты программалаудың (СП) транспорт  есебін  потенциалдар  әдісімен  шешу  үшін  бастапқы  тірек жоспарын құрдық. Оны оқудың бірқатар әдістері  бар: «солтүстік батыс бұрыш» әдісі «матрицаның ең жақсы элемені» әдісі, «қатардың ең жақсы элементі» әдісі, «апроксимация» , т.б. Матрицаның ең жақсы элементі әдісін қарастырдық . Сонымен қатар курстық жұмысқа қосымша СП есептерінің түрлерін  қоса отырып  практика іс жүзінде әр түрлі әдістерді  қолдандық.

Пайдаланылған  әдебиеттер  тізімі

1. Гасс С. Линейное программирование.  М.ФизМатиз 1960.
2. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направление в линейном программирование. М.: Сов Радио, 1966.
3. Дж. Данцинг. Линейное программирование, его обощение применение  М.: Прогресс 1966.
4. Калихман И.Л. Линейное  алгебра  и  программирование  М.:Высшая  школа,
5. Калихман И.Л. Линейное  программирование  М.: Высшая школа, 1975.
6. Карпелевич Ф.И., Садовский  А.Е. Элементы  линейной  алгебры  и  линейное  программирование  М.ФизМатиз 1963.
7. Кузнецов Ю.Н. Кузубов В.И., Волощенка А.В. Математическое  программирование. Высая  школа
8. Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру методы  линейного пргоаммирования М.:  Просвещение
9. Юдин Б.Д. Гольштейн Е.Г. Задачи методы  линейного  программирования М.: Сов.Радио.
10. Юдин. Д.Б. Гольштейн Е.Г. линейное программирование. М.: Наука
11. Ә.У.Қалижанова., К.Қ. Мустафина «Жүйелер теориясының әдістері».